CONICAS Y MATRICES EN EL USO DE LA ARQUITECTURA: diciembre 2014

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

EN LA ARQUITECTURA

DEFINICIÓN:

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el Limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como calculo infinitesimal. Correctamente el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.

REGLAS DE LAS DERIVADAS

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/reglas_derivadas/regla_derivadas.htm

EJERCICIOS:

REGLA DE LA CADENA

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

En términos alg, la algebraicos, la de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si

f\,

es diferenciable en

x\,

g\,

es una función diferenciable en

f(x)\,

, entonces la función compuesta

(g \circ f)(x) = g(f(x))

es diferenciable en

x\,

(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio:

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t²+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x'-x	Δt=t'-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
...	...	...	...	...
			0	20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posición del móvil en el instante t es x=5t²+1
La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1
El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt²
La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento:

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t₀ y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t³-4t²+5 m/s. Si en el instante t₀=2 s. está situado en x₀=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

VALORES EXTREMOS DE F(X)

(Máximos y mínimos)

PUNTOS CRÍTICOS

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).

iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:

1) Halla f’(x) (la derivada de f).

2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

3) Evalúa cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).

6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.

Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.

Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.

A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del calculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función $f$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a $c$ , y $f '(c)=0, f(c)$ debe ser un mínimo relativo de $f$ . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a $c$ y $f '(c) = 0, f(c)$ debe ser un máximo relativo de $f$ .

Sea $f$ una función tal que $f '(x) = 0$ y la segunda derivada de $f$ existe en un intervalo abierto que contiene a $x$

Si $f ''(x) < 0$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $(x, f(x))$ .
Si $f ''(x) > 0$ , entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $(x, f(x))$ .

f ''(x) = 0

, entonces el criterio falla. Esto es,

f

quizás tenga un máximo relativo en

x

, un mínimo relativo en

(x, f(x))

o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

PUNTO DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD

Definición de concavidad:Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$ , si

es creciente sobre A. Si

es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo

y cóncava hacia abajo en el intervalo

Definición de inflexión: Se dice que $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo

tal que $x_{0} \in ]a,b[$ , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,x_{0}[$ , y cóncava hacia abajo sobre $]x_{0},b[$ , o viceversa. Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue: